Question

从椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线,垂足恰好为椭圆的左焦点F1，M

是椭圆的右顶点，N是椭圆的上顶点，且向量MN=x倍向量OP（x>0）
（1）求该椭圆的离心率
（2）若过右焦点F2且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，点A关于x轴的对称点为A1，直线A1B与x轴交于点（4，0），求椭圆C的方程

Answer 1

椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右顶点是M(a,0),上顶点是N(0，b),
向量MN=(-a,b)=xOP,
∴P(-a/x,b/x),依题意-a/x=-c,2/x^2=1,
∴c/a=1/x=√2/2，为椭圆的离心率。
(2)由(1),椭圆方程为x^2/(2c^2)+y^2/c^2=1,①
设直线AB:x=my+c,m≠0，②代入①，
m^2y^2+2cmy+c^2+2y^2=2c^2,
整理得(m^2+2)y^2+2cmy-c^2=0,③
设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-2cm/(m^2+2),y1y2=-c^2/(m^2+2),
点A关于x轴的对称点为A1(x1,-y1)，
直线A1B的斜率=（y2+y1)/(x2-x1)=（y1+y2)/[m(y2-y1)],
∴A1B:y-y2=(y1+y2)(x-x2)/[m(y2-y1)](由②)与x轴交于点（4，0），
∴-y2=(y1+y2)[4-(my2+c)]/[m(y2-y1)],
∴-my2(y2-y1)=-2cm[4-(my2+c)]/(m^2+2),m≠0，
∴(m^2+2)(y1y2-y2^2)=-8c+2c(my2+c),
∴-c^2+8c=(m^2+2)y2^2+2cmy2+2c^2，
由③，-c^2+8c=c^2+2c^2,解得c=2,
∴椭圆方程为x^2/8+y^2/4=1.