Question

数学证明题

哪位能帮忙证明一下这道题，先谢谢了

Answer 1

1. 如果n是素数，则n只有1，n，这两个因子。这样，任意的<n, >1 的正整数，必然与n互质，否则，n必然有>1，<n 的因子。 这样，在1-n这那个正整数中，只有n不与自己互质，其他（包括1）都与n互质，所以 Φ(n)=n-1。
2. 如果Φ(n)=n-1，即在小于等于n的正整数中，只有n与自己有大于1因子，其余n-1个，从1到
n-1都与n互质。这样，n就只有1和n两个因子，不可能有其他介于1与n之间的因子，否则，如有这样的因子，则该因子不可能与n互质，与Φ(n)=n-1不符。因此，n为素数。

综上所述，n为素数的充要条件为Φ(n)=n-1。