Question

一道数学中考题，紧急

如图，已知Rt△ABC，D1是斜边AB的中点，过D1作D1E1⊥AC于E1，连接BE1交CD1于D2；过D2作D2E2⊥AC于E2，连接BE2交CD1于D3；过D3作D3E3⊥AC于E3，…，如此继续，可以依次得到点D4，D5，…，Dn，分别记△BD1E1，△BD2E2，△BD3E3，…，△BDnEn的面积为S1，S2，S3，…Sn．则Sn= _______S△ABC（用含n的代数式表示）．
课本里没有出现过重心的概念，这个题目不用重心请问怎么做
请写出详细过程，谢谢

Answer 1

在四边形D1E1CB中同底等高的2个三角形△D1CB与△E1CB面积相等 ∴S△D1CB-S△D2CB=S△E1CB-S△D2CB ∴S△D1D2B=S△D2E2C ∴S△D1E1B=S△D1E1D2+S△D1D2B=S△D1E1D2+S△D2E1C=S△D1E1C=S1 同理S2=S△D2E2C S3=S△D3E3C……
∵D1A=D2B D1E1⊥AC 易证D1E1/BC=1/2 S1=1/4S△ABC
∵D1E1⊥AC D2E2⊥AC 易证△D1E1C∽△D2E2C ∴S△D2E2C/S△D1E1C=(D2C/D1C)² ∵D1E1//BC ∴△D1E1D2∽△CBD2 ∴D2C/D1C=D2C/(D2C+D1D2)=1+D2C/D1D2=1+BC/D1E1=2/3 ∴S△D2E2C=4/9*S△D1E1C ∴S2=4/9*S1=1/9S△ABC
同理通过证明DnEn于D1E1的倍数关系可得S3=1/16S△ABC S4=1/25S△ABC ……
通过观察，Sn=1/(n+1)²S△ABC

Answer 2

不用重心很难啊！由平行可得S三角形BD1E1=S三角形CD1E1=S三角形AD1E1=1/4S三角形ABC
再有D1E1平行于BC得三角形D1D2E1相似于三角形BD2C从而D1D2比D2C等于1比2.则S三角形CD2E2=4/9S三角形CD1E1=1/9S三角形ABC
照得规律Sn= （1/n+1)^2S△ABC