Question

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如图所示，△ABC的顶点在直线MN上，△ABC绕点A旋转，BE⊥MN于E，CD⊥MN于D，F为BC中点，当MN经过△ABC的内部时，求证：（1）FE=FD；（2） 当△ABC继续旋转，使MN不经过△ABC内部时，其他条件不变，上述结论是否成立呢？

Answer 1

第一问：延长EF交DC于点G，先证明△BEF和△CGF全等，得到EF=FG,说明F是EG的中点，此时FD是直角△DEG斜边上的中线，所以有FE=FD。

第二问：依然成立。延长EF交DC的延长线（或反向延长线）于点G。后面的步骤完全一样啊

本题考查知识点：构建全等三角形，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。初中数学教材八年级下册内容。

Answer 2

第一问：延长EF交DC于点G，先证明△BEF和△CGF全等，得到EF=FG,说明F是EG的中点，此时FD是直角△DEG斜边上的中线，所以有FE=FD。

第二问：依然成立。延长EF交DC的延长线（或反向延长线）于点G。后面的步骤完全一样啊

Answer 3

1) 延长EF交CD于点P
∵CD⊥MN BE⊥MN ∴CD∥BE ∴∠DCB=∠RBC
∵∠BFE=∠CFD （对顶角）
∵ F是BC中点 ∴BF=FC 所以△BEF≌△PFC
PF=FB 即F是RT△DEP的中点 所以 EF=FP=DF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

（第二题和第一题一样的证法）

Answer 4

解：（1）不成立．
DE、AD、BE之间的数量关系是DE=AD-BE，理由如下：
∵∠ACB=90°，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
又∠ACD+∠BCE=90°，
∴∠CAD=∠BCE，
在△ACD和△CBE中，
∵AC=CB，∠CAD=∠BCE，∠ADC=∠CEB=90°
∴ {AC=CB∠CAD=∠BCE∠ADC=∠CEB=90°
∴△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∴DE=AD-BE；

（2）DE、AD、BE之间的关系是DE=BE-AD．

Answer 5

(1) 延长EF交CD于点P
∵CD⊥MN BE⊥MN ∴CD∥BE ∴∠DCB=∠RBC
∵∠BFE=∠CFD （对顶角）
∵ F是BC中点 ∴BF=FC 所以△BEF≌△PFC
PF=FB 即F是RT△DEP的中点 所以 EF=FP=DF（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

（2） 和第一题证法一样