Question

如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD垂直AB,垂足为D,舍BC=a,AC=b,AB=c,CD=h

如图,在三角形ABC中,∠ACB=90°,CD垂直AB,垂足为D,舍BC=a,AC=b,AB=c,CD=h，试判断a+b,h,c+h为边的三角形是否是直角三角形。给出证明。

Answer 1

以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形。
证明：在三角形ABC中,∠ACB=90° BC=a,AC=b,AB=c
所以a^2+b^2=c^2
(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=c^2+2ab
(c+h)^2=c^2+2ch+h^2
直角三角形ABC的面积=1/2a*b=1/2c*h
所以ab=ch
所以(a+b)^2+h^2=c^2+2ab+h^2=c^2+2ch+h^2
即(a+b)^2+h^2=（c+h）^2
所以以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形

追问

为什么c+h一定是斜边（c+h>a+b）??

追答

两边平方相减
(c+h)^2-(a+b)^2
=c^2+2ch+h^2-(a^2+2ab+b^2)
=c^2+2ch+h^2-(c^2+2ab)
=h^2>0
所以(c+h)^2>(a+b)^2
所以c+h>a+b，即c+h是斜边

Answer 2

(a+b)^2=a^2+b^2+2ab
h^2+(c+h)^2=c^2+2h^2+2ch

a^2+b^2=c^2
2ab=2ch
(a+b)^2不等于h^2+(c+h)^2
所以 不是直角三角形

Answer 3

ab=S=ch
S为△abc的面积
h=ab/c
(a+b)^2+h^2
=a^2+b^2+2ab+h^2
=c^2+h^2+2ab
=c^2+h^2+2hc
=(c+h)^2
所以a+b,h,c+h为边的三角形是直角三角形

追问

为什么c+h一定是斜边（c+h>a+b）??

Answer 4

cd＜bc＜ab
因为cd⊥ab，所以三角形cdb是直角三角形。直角三角形斜边大于直角边，所以cd＜bc
△acb是直角三角形，同理，bc＜ab
所以cd＜bc＜ab
不用射影定理也可以做，你仔细看看我的过程，应该能看懂。一定要用射影定理吗？
射影定理
射影定理一下就秒杀

Answer 5

K