数学发展史上的三次重大突破是什么
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1.毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。由两千多年后的数学家们建立的实数理论才消除它。 2.第二次数学危机导源于微积分工具的使用。贝克莱一针见血地指出牛顿在对x^n(n是正整数)求导时既把△x不当做0看而又把△x当作0看是一个严重的自相矛盾,从而几乎使微积分停滞不前,后来还是柯西和魏尔斯特拉斯等人提出无穷小是一个无限向0靠近,但是永远不等于0的变量,这才把微积分重新稳固地建立在严格的极限理论基础上,从而消灭的这次数学危机! 3.十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论。1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高明袭采烈地宣称:“………借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合庆颤论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。 罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问:S是否属于S呢?激差兄根据排中律,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S就属于S。无论如何都是矛盾的。 可以说,这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。 危机产生后,数学家纷纷提出自己的解决方案。比如ZF公理系统。这一问题的解决只现在还在进行中。罗素悖论的根源在于集合论里没有对集合的限制,以至于让罗素能构造一切集合的集合这样“过大”的集合,对集合的构造的限制至今仍然是数学界里一个巨大的难题!
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