Question

将二重积分∫<0,1>dx∫<0,x^2>f(x,y)dy转化为极坐标系下的二次积分 要过程

Answer 1

∫[0,1]dx∫[0,1] f(x,y) dy

=∫∫ f(x,y) dxdy 积分区域为矩形：0≤x≤1,0≤y≤1

作y=x将矩形分为两部分分别来做,

x=1对应的极坐标方程为：rcosθ=1,即r=1/cosθ

y=1对应的极坐标方程为：rsinθ=1,即r=1/sinθ

原式=∫∫ f(rcosθ,rsinθ)r drdθ

=∫ [0→π/4] dθ∫[0→1/cosθ] f(rcosθ,rsinθ)r dr+∫ [π/4→π/2] dθ∫[0→1/sinθ] f(rcosθ,rsinθ)r dr

二重积分是二元函数在空间上的积分，同定积分类似，是某种特定形式的和的极限。本质是求曲顶柱体体积。

重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心等。平面区域的二重积分可以推广为在高维空间中的（有向）曲面上进行积分，称为曲面积分。

扩展资料

求y=x²的极坐标方程,即rsinθ=r²cos²θ,整理后为：r=sinθ/cos²θ

则∫(0->1)dx∫(x^2->x)(x^2+y^2)^(-1/2)dy

=∫[0->π/4]dθ∫[0->sinθ/cos²θ] (1/r)*rdr

=∫[0->π/4]dθ∫[0->sinθ/cos²θ] 1dr

=∫[0->π/4] sinθ/cos²θdθ

=-∫[0->π/4] 1/cos²θd(cosθ)

=1/cosθ [0->π/4]

=√2-1