Question

如图,在三角形ABC中，AB=AC,AD垂直于BC，CG平行于AB，BG分别交AD,AC于点E,F.

求证:BE的平方=EF乘以EG

Answer 1

连接ce。
ad是高也是中线，则bd=cd，ed公共边，直角。容易证明三角形bde全等于三角形cde
所以be=ce。角abd=角acd，角ebd=角ecd
cg平行于ab，所以角abe=角cgf（内错），角abe=角ecf（等角-等角），所以角cgf=角ecf。
又角cef为公共角，所以三角形cef相似于三角形ceg
ce/ef=eg/ce
ce^2=ef*eg=be^2

Answer 2

连接EC
∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACD
又∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°
可得△ABD≌△ACD
∴BD=CD
可得△BED≌△CED
∴BE=CE
∵∠ECF=∠EGC
又△ABE≌△ACE
∴∠ABE=∠ACE
∵AB∥GC
∴∠EGC=∠ABE=∠ECF
∴△EFC∽△ECG
∴EC²=EF×EG
即BE²=EF×EG
题虽然简单，但是这个步骤可真多啊

Answer 3

连接EC
∵AB=AC,∴∠ABD=∠ACD
又∵AD⊥BC,∴∠ADB=∠ADC=90°
可得△ABD≌△ACD
∴BD=CD
可得△BED≌△CED
∴BE=CE
∵∠ECF=∠EGC
又△ABE≌△ACE
∴∠ABE=∠ACE
∵AB∥GC
∴∠EGC=∠ABE=∠ECF
∴△EFC∽△ECG
∴EC²=EF×EG
即BE²=EF×EG