Question

初二的一道数学几何题 急需！大家帮帮忙！！

已知等腰三角形△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P(A点除外），过P点作AB∥EF，分别交AC，BC于点E，F点，作PM∥AC，交AB于点M点，连接ME。问：当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

Answer 1

当P点在△ABC的重心位置时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM

面积的一半。

作中线CN交AD于P,过P作PH∥AC交AB于H→AM=MH=HB→AM=1/2MB→菱形AEPM的面积为四边形EFBM

面积的一半。

Answer 2

AB=AC，AD平分∠BAC交BC于D点，即AD⊥BC
菱形AEPM，则AD⊥ME，即ME∥BC，又AB∥EF，则四边形EFBM为平行四边形
设E到AB的高为h，菱形AEPM的面积为AM*h，平行四边形EFBM面积为BM*h
即AM*h=1/2BM*h，即BM=2AM
设AD、ME交于N，ME∥BC，则DN=2AN
菱形AEPM，则AN=NP，即AP=2PD=2/3AD
所以当P点AD的2/3处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

Answer 3

因为AB=AC，所以AD平分∠BAC交BC于D点所以AD⊥BC
又因为菱形AEPM，则AD⊥ME，所以ME∥BC，又AB∥EF，所以四边形EFBM为平行四边形
设E到AB的高为h，菱形AEPM的面积为AM*h，平行四边形EFBM面积为BM*h
所以AM*h=1/2BM*h，BM=2AM
设AD、ME交于N，ME∥BC，则DN=2AN
菱形AEPM，则AN=NP，即AP=2PD=2/3AD
所以当P点AD的2/3处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半
因该是吧

Answer 4

证明:如果菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半，则AM=1/2BM，AM=EP BM=2PE。EF=BM，EF=2EP，P是EF的中点 AP垂直EM AD平分∠BAC AD垂直BC （△ABC是等腰三角形）EM∥BC 设EM、AD交于Q 则P也是QD的中点（△EPQ与△PDF全等）又菱形AEPM中
AQ=PQ 所以P在AD的三分之二处。

Answer 5

思考，这两个菱形有公共边EF 公共高M点到EF的距离a
因此 如要菱形AEPM面积为平行四边形EFBM面积的一半
仅需要EP=1/2EF 即P为EF中点
因此三角形AME全等于三角形MEP全等于三角形PFX（X为MP于BC的交点）
等腰三角形的角平分 高 中线重合 因此AP=2/3AD