Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD平行BC，AB=DC，AD=3cm,BC=7cm,角B=60度，P为下底BC上一点，连接AP,过点PE交DC

如图，在等腰梯形ABCD中，AD平行BC，AB=DC，AD=3cm,BC=7cm,角B=60度，P为下底BC上一点，连接AP,过点PE交DC于点E，使得角APE=角B.（1）求证三角形ABP相似于三角形PCE.(2)求等腰梯形AB的长(3)在底边BC上是否存在一点P，使DE:EC=5:3,若存在，求BP的长，如不存在，请说明理由。

Answer 1

(1)因为四边形ABCD是等腰梯形
所以∠B=∠C=60°
所以∠BAP+∠APB=120°，∠EPC+∠APB=120°,
所以∠BAP=∠EPC,
所以△ABP∽△PCE

(2)过A作AQ⊥BC,过D作DN⊥BC
容易得到：MN=AD=3cm，BM=CN=2cm
在直角△ABM中，∠BAM=30°
所以AB=2BM=4cm

(3)假设存在P使得DE：EC=5：3
则EC=3CD/8=3AB/8=1.5
因为△ABP∽△PCE
所以AB/PC=BP/EC,
所以PC*PB=EC*AB=1.5*4
即PC*PB=6
又因为PC+PB=7
两式组成方程组解得：
PB=1或PB=6
因此：在底边BC上存在一点P，使得DE：EC=5：3，BP的长1或6

Answer 2

（1）角B=角APE,角CPE+角APB=角APB+角BAP，所以BAP=CPE，所以相似
（2）过A作AF垂直BC，在三角形ABF中解得AB=4
（3）存在。由5:3解得EC=1.5，设PC=a，由第一问相似得EC/BP=PC/AB，由此解得a=1，即BP=6。

Answer 3

证:
(1)因为四边形ABCD是等腰梯形
所以∠B=∠C=60°
所以∠BAP+∠APB=120°，∠EPC+∠APB=120°,
所以∠BAP=∠EPC,
所以△ABP∽△PCE

(2)过A作AQ⊥BC,过D作DN⊥BC
容易得到：MN=AD=3cm，BM=CN=2cm
在直角△ABM中，∠BAM=30°
所以AB=2BM=4cm

(3)假设存在P使得DE：EC=5：3
则EC=3CD/8=3AB/8=1.5
因为△ABP∽△PCE
所以AB/PC=BP/EC,
所以PC*PB=EC*AB=1.5*4
即PC*PB=6
又因为PC+PB=7
两式组成方程组解得：
PB=1或PB=6
因此：在底边BC上存在一点P，使得DE：EC=5：3，BP的长1或6

Answer 4

：证明：（1）由∠ADC为△ABP的外角得∠APC=∠B+∠BAP；
∵∠B=∠APE
∴∠EPC=∠BAP
∵∠B=∠C
∴△ABP∽△PCE；
解：（2）过A作AF⊥BC于F；
由已知易求得BF= ，
Rt△ABF中，∠B=60°，BF=2；
∴AB=4cm；
（3）存在这样的点P．
理由是：∵
解之得EC= cm．
设BP=x，则PC=7-x
由△ABP∽△PCE可得
= ，
∵AB=4，PC=7-x，
∴ =
解之得x1=1，x2=6
经检验都符合题意，
即BP=1cm或BP=6cm．

Answer 5

(1) 证明：
∵∠PAB＋∠B＋∠APB＝180°
∠EPC＋∠APE＋∠APB＝180°
且∠B＝∠APE＝60°
∴∠PAB＝∠EPC
又∵ABCD是等腰梯形
∴∠C＝∠B
∴△ABP∽△PCE

(2) 过A作AM⊥BC,过D作DN⊥BC
可得：MN=AD=3cm，BM=CN=2cm
在RT△ABM中，∠BAM=30°
∴AB=2BM=4cm

（3）存在一点P，使DE:EC=5:3。
设BP=x
∵AB=DC=4，EC=3/(5+3)=3/8,且△ABP∽△PCE,
∴BP/EC=AB/(7-BP)
即x/(3/2)=4/(7-x)
解得x=1 x=6
BP=1或6cm