Question

已知：梯形ABCD中，AD平行BC，DE平分∠ADC，DE垂直CE（E点在AB边上）. 求证：AD+BC=CD,CE平分∠BCD

图请各位仁兄自己画啊 可以追分的

Answer 1

证明：延长CE交DA延长线于点F
因为 DE垂直CE, DE平分角ADC
所以　角DEF=角DEC=90度，角EDF=角EDC
又因为　DE=DE
所以　三角形DFE全等于三角形DCE
　　　所以　FD=CD, EF=EC
因为　AD//BC
所以　角FAE=角B, 角F=角BCE
所以　三角形AEF全等于三角形BEC
所以　AF=BC
所以　FD=AD+AF=AD+BC
　　　因为　已证FD=CD
所以　AD+BC=CD。
　　　因为 DF=DC,
所以　角F=角DCE
因为　角F＝角BCE (上面已证）
　　　所以　角DCE=角BCE
所以　CE平分角BCD。

Answer 2

过E作EF∥AD交CD于F，则EF∥BC，且∠ADE=∠DEF，∠FEC=∠ECB；
（1）、∵DE平分∠ADC，∴∠EDF=∠ADE=∠DEF，于是EF=DF；
∵DE⊥CE，∴∠DEF+∠FEC=90°；∠EDF+∠ECF=90°，
上式中∠EDF=∠DEF，∴∠ECF=∠FEC，从而EF=FC，
∴DC=DF+FC=2EF，且F是CD的中点。
∵EF∥AD∥BC，可知EF是梯形ABCD的中位线，于是AD+BC=2EF=CD。
（2）、承上，∠ECF=∠FEC，而∠FEC=∠ECB，
∴∠ECF=∠ECB，即EC平分∠BCD。