求复变函数高手解答 ∮(sinz) / (z(z-1)^2) dz,|z|=4
如题,求复变函数高手解答∮(sinz)/(z(z-1)^2)dz,|z|=4。题目应该不难,只是我学的太菜不会。这个内容是在高等教育出版社复变函数第四版的第三章“复变函数...
如题,求复变函数高手解答 ∮(sinz) / (z(z-1)^2) dz,|z|=4。
题目应该不难,只是我学的太菜不会。
这个内容是在高等教育出版社复变函数第四版的第三章“复变函数的积分”里。
急求,在线等。要详细步聚。
话说是不是用到柯西积分公式?
有高手会的麻烦帮下忙,万分感谢! 展开
题目应该不难,只是我学的太菜不会。
这个内容是在高等教育出版社复变函数第四版的第三章“复变函数的积分”里。
急求,在线等。要详细步聚。
话说是不是用到柯西积分公式?
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用柯西积分公式,以及它的推论(高阶导数公式)
首先,分解1/(z(z-1)^2) =1/z - 1/(z-1)+1/(z-1)^2
其次,原积分=∮sinz/z dz - ∮sinz/(z-1) dz + ∮sinz/(z-1)^2 dz=2πi×sin0-2πi×sin1+2πi×cos0=0-2πsin1 i+2πi=2π(1-sin1)i
首先,分解1/(z(z-1)^2) =1/z - 1/(z-1)+1/(z-1)^2
其次,原积分=∮sinz/z dz - ∮sinz/(z-1) dz + ∮sinz/(z-1)^2 dz=2πi×sin0-2πi×sin1+2πi×cos0=0-2πsin1 i+2πi=2π(1-sin1)i
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∮|z|=2 sinz/z(1-e2)dz
路径内有一个奇点z=0,所以积分等于该点留数
sinz = z - z^3/3! + z^5/5! - ...
sinz/z = 1 - z^2/3! + z^4/5! - ...
可见z=0是一个可去奇点。故积分等于0
∮|z|=3 z-3/(z+1)(z-4)dz
不知道z-3有没有括号?路径内有一个奇点z=-1
算这点的留数就行
∮|z|=3 e的z次方/(z-1)3dz
路径内有一个3级极点z=1
令z-1=w
e^z/(z-1)^3
= e^(w+1)/w^3
= e*e^w/w^3
= e*(1+w+w^2/2++...)/w^3
= e*(1/w^3 + 1/w^2 + 1/2w + ... )
所以∮|z|=3 e的z次方/(z-1)3dz
= ∮|z|=3 [e*(1/w^3 + 1/w^2 + 1/2w + ... )]dz
= ∮|z|=3 [e/2w]dz
= ∮|z|=3 [e/2(z-1)]dz
= e/2*∮|z|=3 1/(z-1) d(z-1)
= e/2 * 2PI * i
= e * i *PI
∮|z|=2 (e2-1)2/ln(1+z)sinz dz
ln(1+z)多值,是不是要指定一个分支?
路径内有一个奇点z=0,所以积分等于该点留数
sinz = z - z^3/3! + z^5/5! - ...
sinz/z = 1 - z^2/3! + z^4/5! - ...
可见z=0是一个可去奇点。故积分等于0
∮|z|=3 z-3/(z+1)(z-4)dz
不知道z-3有没有括号?路径内有一个奇点z=-1
算这点的留数就行
∮|z|=3 e的z次方/(z-1)3dz
路径内有一个3级极点z=1
令z-1=w
e^z/(z-1)^3
= e^(w+1)/w^3
= e*e^w/w^3
= e*(1+w+w^2/2++...)/w^3
= e*(1/w^3 + 1/w^2 + 1/2w + ... )
所以∮|z|=3 e的z次方/(z-1)3dz
= ∮|z|=3 [e*(1/w^3 + 1/w^2 + 1/2w + ... )]dz
= ∮|z|=3 [e/2w]dz
= ∮|z|=3 [e/2(z-1)]dz
= e/2*∮|z|=3 1/(z-1) d(z-1)
= e/2 * 2PI * i
= e * i *PI
∮|z|=2 (e2-1)2/ln(1+z)sinz dz
ln(1+z)多值,是不是要指定一个分支?
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