Question

高数求旋转体体积问题？求高手救救小命儿！！

在0<x<1内求抛物线y=1-x^2的一条切线，使它与y=1-x^2,x=0,y=0所围成的平面图形的面积最小，并在此时求该图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的面积

Answer 1

抛物线y=1-x^2在任意一点(x0,y0)的切线斜率为 dy/dx |x0= -2x0。所以由点斜方程，在任意一点(x,y)的切线为： y= - 2x0(x-x0)+y0 , y0= 1 - x0^2
这条切线 y= - 2x0(x-x0)+y0 与 y=1-x^2,x=0,y=0所围成的平面图形的面积 表达为两个积分相加（显然，切点把面积分为两块）：
∫∫_(0<=x<=x0,1-x^2<=y<=- 2x0(x-x0)+y0) dxdy
+ ∫∫_(0<=y<=y0,sqrt(1-y)<=x<=x0-(y-y0)/(2x0)) dxdy
注意左边一块按先纵向再横向积分比较方便，而右边一块按先横向再纵向积分比较方便。
计算 ∫∫_(0<=x<=x0,1-x^2<=y<=- 2x0(x-x0)+y0) dxdy
= ∫_(0<=x<=x0) dx∫_(1-x^2<=y<=- 2x0(x-x0)+y0) dy
= ∫_(0<=x<=x0) (- 2x0(x-x0)+y0-1+x^2) dx
= [ -x0*x^2 + (2x0^2+y0-1) x + x^3/3 ] |_(0<=x<=x0)
= - x0^3 + 2x0^3+x0(1-x0^2)- x0 + x0^3/3
= x0^3/3

∫∫_(0<=y<=y0,sqrt(1-y)<=x<=x0-(y-y0)/(2x0)) dxdy
= ∫_(0<=y<=y0) dy ∫_(sqrt(1-y)<=x<=x0-(y-y0)/(2x0)) dx
= ∫_(0<=y<=y0) [ x0-(y-y0)/(2x0) - sqrt(1-y)]dy
= { [x0+y0/(2x0)]y - y^2/(4x0)+(2/3) (1-y)^(3/2) } | _(0<=y<=y0)
= [x0+y0/(2x0)]y0 - y0^2/(4x0) + (2/3) (1-y0)^(3/2) - 2/3
= [x0+(1-x0^2)/(2x0)](1-x0^2) - (1-x0^2)^2/(4x0) + (2/3) x0^3 - 2/3
= x0 - x0^3/3 + (1-x0^2)^2/(4x0) - 2/3
所以，最后这块面积为 A= x0 + (1-x0^2)^2/(4x0) - 2/3
（可以验证A,当x取0，1时。）
所以， A= x0/2 + 1/(4x0) + x0^3/4 -2/3
求导 A' = 1/2 - 1/(4x0^2) + 3x0^2/4 = (1/4)[2- 1/x0^2 + 3x0^2] = (1/4)(x0 + 1/x0)(3x0 - 1/x0)
因为 x0>0, 所以只能 3x0 - 1/x0=0，解得 x0= sqrt(3) / 3 （sqrt--根号）
所以，所求的切线为 y= - 2x0(x-x0)+y0 即 y= - 2x0*x + x0^2 +1 即 y= - (2sqrt(3) / 3)x + 4/3

该图形绕x轴旋转一周所得到的旋转体的面积, 其实是3部分面积相加，
抛物线绕x轴转得到的旋转抛物面面积，加上 切线绕x轴转得到的锥面面积，加上底面的环的面积。
抛物线绕x轴转得到的旋转抛物面面积
= ∫∫_(0<=a<=2π,0<=x<=1) y sqrt[1+(y')^2] dadx
= ∫_(0<=a<=2π) da ∫_(0<=x<=1) (1-x^2) sqrt[1+(2x)^2] dx
=2π ∫_(0<=x<=1) (1-x^2) sqrt[1+(2x)^2] dx

切线绕x轴转得到的锥面面积, 先求切线和y轴交点，得(0, (4-2sqrt(3) )/3 ) ,
所以，锥面面积=π*(4-2sqrt(3))/3*sqrt(1+((4-2sqrt(3))/3)^2)
=π(4-2sqrt(3))/9 *sqrt(37-16sqrt(3))

底面的环的面积=π{[(4-2sqrt(3))/3]^2-1} =π(19-16sqrt(3)) / 9 .

三个相加。

那个积分没劲算了。
话说出题的老师肯定是白痴加变态，也不弄几个好点的表达式和数字，这她吗的全是
代数运算 ，有病哦。