Question

求证当x>=1时,arctanx-1/2arccos2x/1+x^2=π/4

Answer 1

　　原题是:求证 当x>=1时,arctanx-(1/2)arccos(2x/(1+x^2))=π/4

　　证明：因x≥1,设x=tanθ, θ∈[π/4,π/2)

　　则2x/(1+x^2))=2tanθ/(1+(tanθ)^2))
　　=sin2θ=cos(2θ-π/2)
　　其中2θ-π/2∈[0,π/2)

　　arctanx-(1/2)arccos(2x/(1+x^2))
　　=arctan(tanθ)-(1/2)arccos(cos(2θ-π/2))
　　=θ-(1/2)(2θ-π/2) (注意：此步用到 θ∈[π/4,π/2), 2θ-π/2∈[0,π/2) 两关键条件）
　　=θ-θ+π/4
　　=π/4

　　所以当x>=1时,arctanx-(1/2)arccos(2x/(1+x^2))=π/4。

　　希望对你有点帮助！