Question

已知正整数a，b满足（a+b）^2=a^3+b^3,求a+b的值.

Answer 1

(a+b)^2 = (a+b) (a^2-ab+b^2)
a、b为正整数，所以a+b≠0，方程两边消去a+b得
a+b = a^2-ab+b^2
2a + 2b = 2a^2-2ab + 2b^2
(a-b)^2 + a^2-2a + b^2-2b = 0
(a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 = 2 （1）
∵(3-1)^2 = 4 >2，所以a，b必须小于3，即可能为1或2
a、b同为1时，代入（1）式得0=2，舍去
a、b一个为1，一个为2时，代入（1）式得1 + 1 = 2，符合题意，此时a+b = 3
a、b同为2时，代入（1）得1+1=2，符合题意，此时a+b=4
所以a+b=3或4

追问

∵(3-1)^2 = 4 >2，所以a，b必须小于3，即可能为1或2
这解释一下
有追加分

追答

(a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 = 2
左侧是三个完全平方式，都大于等于0，所以每个完全平方式都必须小于等于2，才可能使等式成立。
如果a=3，(a-1)^2 = (3-1)^2 = 4，不管b是多少，左侧肯定大于2，等式不成立。b=3时也一样。
所以a、b必须小于3。

Answer 2

(a+b)^2=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a+b=(a+b)^2-3ab
1=(a+b)-3ab/(a+b)
a+b=3, 1=3-ab, ab=2,

追问

这个有些看不懂
加点文字解释

Answer 3

2

追问

why
tell me