Question

如图，抛物线y=x 2 -2x+c的顶点A在直线 l ：y=x-5上。（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于

如图，抛物线y=x 2 -2x+c的顶点A在直线 l ：y=x-5上。（1）求抛物线顶点A的坐标；（2）设抛物线与y轴交于点B，与x轴交于点C、D（C点在D点的左侧），试判断△ABD的形状；（3）在直线 l 上是否存在一点P，使以点P、A、B、D为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1）∵顶点A的横坐标为x= =1，且顶点A在y=x-5上， ∴当x=1时，y=1-5=-4， ∴A（1，-4）； （2）△ABD是直角三角形， 将A（1，-4）代入y=x 2 -2x+c，可得，1-2+c=-4，∴c=-3， ∴y=x 2 -2x-3，∴B（0，-3） 当y=0时，x 2 -2x-3=0，x 1 =-1，x 2 =3 ∴C（-1，0），D（3，0）， BD 2 =OB 2 +OD 2 =18，AB 2 =（4-3） 2 +1 2 =2，AD 2 =（3-1） 2 +4 2 =20， BD 2 +AB 2 =AD 2 ， ∴∠ABD=90°， 即△ABD是直角三角形； （3）存在． 由题意知：直线y=x-5交y轴于点A（0，-5），交x轴于点F（5，0） ∴OE=OF=5，又∵OB=OD=3 ∴△OEF与△OBD都是等腰直角三角形 ∴BD∥l， 即PA∥BD则构成平行四边形只能是PADB或PABD， 如图，过点P作y轴的垂线，过点A作x轴的垂线并交于点C设P（x 1 ，x 1 -5）， 则G（1，x 1 -5） 则PC=|1﹣x 1 |，AG=|5﹣x 1 ﹣4|=|1﹣x 1 |PA=BD=3 由勾股定理得：（1-x 1 ） 2 +（1-x 1 ） 2 =18， x 1 2 -2x 1 -8=0，x 1 =-2，4 ∴P（-2，-7），P（4，-1） 存在点P（-2，-7）或P（4，-1）使以点A、B、D、P为顶点的四边形是平行四边形。