Question

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2。 （1）求证：DC=BC；

如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠BCD=90°，且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2。
（1）求证：DC=BC；（2）E是梯形内的一点，F是梯形外的一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；（3）在（2）的条件下，当BE：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin∠BFE的值。

Answer 1

解：（1）过A作DC的垂线AM交DC于M，则AM=BC=2， 又tan∠ADC=2，所以DM= ， 因为MC=AB=1， 所以DC=DM+MC=2，即DC=BC。 （2）等腰直角三角形。 证明：因为DE=DF，∠EDC=∠FBC，DC=BC， 所以，△DEC≌△BFC， 所以，CE=CF，∠ECD=∠BCF， 所以，∠ECF=∠BCF+∠BCE=∠ECD+∠BCE=∠BCD=90°， 即△ECF是等腰直角三角形。 （3）设BE=k，则CE=CF=2k，所以EF=2 k， 因为∠BEC=135°，又∠CEF=45°，所以∠BEF=90°， 所以 ， 所以 。