Question

已知{ an}是等差数列，{ bn}是等比数列，Sn是{ an}的前n项和，a1=b1=1，S2=12b2．（Ⅰ）若b2是a1，a3的等

已知{ an}是等差数列，{ bn}是等比数列，Sn是{ an}的前n项和，a1=b1=1，S2=12b2．（Ⅰ）若b2是a1，a3的等差中项，求an与bn的通项公式；（Ⅱ）若an∈N*，{ban}是公比为9的等比数列，求证：1S1+1S2+…+1Sn＜74．

Answer 1

设等差数列{a_n}的公差为d，等比数列{b_n}公比为q．
（Ⅰ）∵S₂=

12

b2

，∴a₁+a₁+d=

12

b1q

，而a₁=b₁=1，则q（2+d）=12．①
又∵b₂是a₁，a₃的等差中项，
∴a₁+a₃=2b₂，得1+1+2d=2q，即1+d=q．②
联立①，②，解得

d＝2 q＝3

或

d＝?5 q＝?4

（4分）
所以a_n=1+（n-1）?2=2n-1，b_n=3^n-1；
或a_n=1+（n-1）?（-5）=6-5n，b_n=（-4）^n-1．（6分）
（Ⅱ）证明：∵a_n∈N^*，ban=b₁qan?1=q^{1+（n-1）d-1}=q^（n-1）d，
∴

ban+1

ban

=

qnd

q(n?1)d

=q^d=9，即q^d=3²．①（8分）
由（Ⅰ）知q（2+d）=12，得q=

12

2+d

．②
∵a₁=1，a_n∈N^*，∴d为正整数，从而根据①②知q＞1且q也为正整数，
∴d可为1或2或4，但同时满足①②两个等式的只有d=2，q=3，
∴a_n=2n-1，S_n=

n(1+2n?1)

2

=n²．（10分）
∴

1

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