Question

已知，数列{an}有a1=a，a2=2，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足Sn＝n(an?a1)2．（1）求a的值

已知，数列{an}有a1=a，a2=2，对任意的正整数n，Sn=a1+a2+…+an，并有Sn满足Sn＝n(an?a1)2．（1）求a的值；（2）求证数列{an}是等差数列；（3）对于数列{bn}，假如存在一个常数b使得对任意的正整数n都有bn＜b且limn→∞bn＝b，则称b为数列{bn}的“上渐进值”，令pn＝Sn+2Sn+1+Sn+1Sn+2，求数列{p1+p2+…+pn-2n}的“上渐进值”．

Answer 1

（1）∵a₁=1，当n∈N⁺时，S_n=a_n-n-1
∴S₂=a₂-3，∴a₂=3；S₃=a₃-4，∴a₃=7；S₄=a₄-5，∴a₄=15
（2）猜想an＝2n?1
证明：当n=1时，经验证成立
假设当n=k，（k≥1）时结论成立，即ak＝2k?1
则当n=k+1时，有s_k=a_k+1-k-1；s_k-1=a_k-（k-1）-1，
两式相减得到a_k=a_k+1-a_k-1，∴a_k+1=2a_k+1，∴ak+1＝2(2k?1)+1＝2k+1?1
所以当n=k+1时，结论成立      
综上所述：an＝2n?1
（3）

lim

n→∞

an

an+1+(a+1)n

＝

1

2

，即

lim

n→∞

2n?1

2n+1?1+(a+1)n

＝

1

2

则

lim

n→∞

1? 1 2n

2? 1 2n +( a+1 2 )n

＝

1

2

，得到

lim

n→∞

(

a+1

2

)n＝0
∴|

a+1

2

|＜1
∴-3＜a＜-1