Question

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）．（1）当a=1时，若方程f（x）=t在[?12，1]上有两个

设函数f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），（x＞-1，a≥0）．（1）当a=1时，若方程f（x）=t在[?12，1]上有两个实数解，求实数t的取值范围；（2）求函数f（x）在定义域上零点个数．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x-（x+1）ln（x+1），（x＞-1），
f′（x）=-ln（x+1），
则当x∈[-

1

2

，0）时，f′（x）＞0，当x∈（0，1]时，f′（x）＜0，
则f（x）在[-

1

2

，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，
又∵f（0）=0-（0+1）ln（0+1）=0，
f（1）=1-（1+1）ln（1+1）=1-ln4，
f（?

1

2

）=?

1

2

-（?

1

2

+1）ln（?

1

2

+1）=?

1

2

+

1

2

ln2，
f（1）-f（?

1

2

）=

3

2

-ln4

2

＜0，
∴当t∈[?

1

2

+

1

2

ln2，0）时，方程f（x）=t有两个实数解．
（2）∵f（x）=x-a（x+1）ln（x+1），
∴f′（x）=1-aln（x+1）-a，
①a=0时，f（x）=x在（-1，+∞）上有一个零点0，
②当a＞0时，由f′（x）=1-aln（x+1）-a＞0可解得，
-1＜x＜e

1?a

a

-1，
则f（x）在（-1，e

1?a

a

-1]上单调递增，在[e

1?a

a

-1，+∞）上单调递减，
f（x）_max=f（e

1?a

a

-1）=ae

1?a

a

-1=a（e

1?a

a

-

1

a

），
令g（a）=e

1?a

a

-

1

a

=e

1

a

?1?

1

a

，令

1

a

＝t，（t＞0）
则h（t）=e^t-1-t，（t＞0）
则h′（t）=e^t-1-1，t＞0
则h（t）_min=h（1）=0，
当t=1，即a=1时，f（x）_max=ag（a）=0，
f（x）有一个零点；
当t≠1，即a≠1时，f（x）_max=ag（a）＞0，
f（x）有两个零点．
综上所述，
当a=0或a=1时，函数f（x）在定义域上有1个零点，
当a≠0且a≠1时，函数f（x）在定义域上有2个零点．