Question

把16分成几个整数和，它们的积最大是多少？

Answer 1

假设n为一个整数,观察规律
当n=1时, 有最大值1
当n=2时, 有最大值2
当n=3时, 有最大值3
当n=4时,可分成(2,2),(1,3),(0,4) 选择:(2,2)
所以很明显 含有1与0的去除
下面的把含有1和0的除掉

当n=5时,有最大值6 选择:(2,3)
当n=6时, 有最大值9 可分成:(2,2,2)(2,4)(3,3) 选择:(3,3)
当n=7时, 有最大值12 可分成:(2,2,3)(2,5) 选择:(2,2,3)
当n=8时, 有最大值18 可分成:(2,2,2,2)(2,3,3)(2,4,2)(2,6)选择: (2,3,3)
所以很容易就可以得到5-8当中 能分成3最多的那么所得到的积乘将是最大的
当n=9时, 有最大值27 可分成:(3,3,3)(2,2,2,3) 选择:(3,3,3)
这里引用了上面的推论

当n=10时, 有最大值36 可分成:(3,3,3,1)因此将为合理，但是这又违背了上面第1-4的推论 因此 (3,3,(3 + 1))将是最少为(3,3,2,2)
当n=11时, 有最大值54 可分为:(3,3,3,2) 选择(3,3,3,2)
由此类推 我们可以得到
A、在十进制数中3 的最大化程度大于5
B、所有数分解为质数后的积将大于其它的组合方式
C、所有质数当中3与2是不可拆分为其它质数之和的质数定义
D、在质数2与3的组合中我们可以看到3将是我们所选的最优解
E、因此对于所给定的任一数，先将之分解成3的N份 再与之2进行剩余的划分就可以得到该数的整数的和的集合为最大积的集合
因此
16将拆分为 3+3+3+3+2+2为最合理的
即有最大值324
该资料属于参考下面链接的资料,不属于本人,只是在原来基础上加工了一下,希望能谅解

Answer 2

设分成n个整数a1，a2，……，an(n>1)
则16=a1+a2+……+an≥n(a1a2……an)^(1/n)
即a1a2……an≤(16/n)^n
当且仅当a1=a2=……an时等号成立
即a1a2……an的最大值为(16/n)^n
由于a1,a2,……，an(n>1)为整数，所以n为16的约数，即n=2,4,8,16
相应的(16/n)^n的取值为64,256,256,1
即分成4或8个整数时，相应的整数为 (4,4,4,4), (2,2,2,2,2,2,2,2,)，他们的积最大

Answer 3

2+2+2+2+2+2+2+2=16
2*2*2*2*2*2*2*2=4*4*4*4=16*16=256

Answer 4

4个4 积为256

Answer 5

64=8*8

Answer 6

324