Question

如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120度．∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD

如图，△ABC内接于⊙O，∠A所对弧的度数为120度．∠ABC、∠ACB的角平分线分别交于AC、AB于点D、E，CE、BD相交于点F．以下四个结论：①cos∠BFE= 1 2 ；②BC=BD；③EF=FD；④BF=2DF．其中结论一定正确的序号数是______．

Answer 1

∵∠A所对弧的度数为120° ∴∠A=60° ∴∠ABC+∠BCA=180°-∠A=120° ∵∠ABC、∠ACB的角平分线分别是BD，CE ∴∠CBF+∠BCF= 1 2 （∠ABC+∠BCA）=60°=∠BFE ∴cos∠BFE= 1 2 ， ∴即cos∠BFE= 1 2 ；故①正确； ∵∠BDC=∠A+ 1 2 ∠ABC=60°+∠DBA ∠BCA=180°-∠A-2∠DBA=120°-2∠DBA 若BC=BD成立，则应有∠BDC=∠BCA 应有60°+∠DBA=120°-2∠DBA， 即∠DBA=20°， 此时∠ABC=40°， ∴∠BCD=∠BDC=80°， 而根据题意，没有条件可以说明∠ABC是40°， 故②错误； ∵点F是△ABC内心，作FW⊥AC，FS⊥AB 则FW=FS，∠FSE=∠FWD=90°∠EFD=∠SFW=120° ∴∠SFE=∠WFD，△FSE≌△WFD ∴FD=FE，故③正确； 由于点F是内心而不是各边中线的交点，故BF=2DF不一定成立，因此④不正确． 因此本题正确的结论为①③． 故答案为：①③．