Question

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．（1

如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值．

Answer 1

（1）证明：①在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°， ∴∠ABC=60°． 在等边△ABD中，∠BAD=60°， ∴∠BAD=∠ABC=60°． ∵E为AB的中点， ∴AE=BE． 又∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF≌△BEC． ②在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点， ∴CE= 1 2 AB，BE= 1 2 AB． ∴CE=AE， ∴∠EAC=∠ECA=30°， ∴∠BCE=∠EBC=60°． 又∵△AEF≌△BEC， ∴∠AFE=∠BCE=60°． 又∵∠D=60°， ∴∠AFE=∠D=60°． ∴FC ∥ BD． 又∵∠BAD=∠ABC=60°， ∴AD ∥ BC，即FD ∥ BC． ∴四边形BCFD是平行四边形． （2）∵∠BAD=60°，∠CAB=30°， ∴∠CAH=90°． 在Rt△ABC中，∠CAB=30°，设BC=a， ∴AB=2BC=2a． ∴AD=AB=2a． 设AH=x，则HC=HD=AD-AH=2a-x， 在Rt△ABC中，AC 2 =（2a） 2 -a 2 =3a 2 ， 在Rt△ACH中，AH 2 +AC 2 =HC 2 ，即x 2 +3a 2 =（2a-x） 2 ， 解得x= 1 4 a，即AH= 1 4 a． ∴HC=2a-x=2a- 1 4 a= 7 4 a． ∴sin∠ACH= AH HC = 1 4 a 7 4 a = 1 7 ．