Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点． (Ⅰ)证明：AE⊥平面

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB= ，点E是棱PB的中点． (Ⅰ)证明：AE⊥平面PBC；(Ⅱ)若AD=1，求二面角B-EC-D的平面角的余弦值．

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Answer 1

(Ⅰ)证明：如图，由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AB， 又PA=AB，故△PAB为等腰直角三角形， 而点E是棱PB的中点，所以AE⊥PB， 由题意知BC⊥AB， 又AB是PB在面ABCD内的射影， 由三垂线定理得BC⊥PB， 从而BC⊥平面PAB，故BC⊥AE， 因为AE⊥PB，AE⊥BC， 所以AE⊥平面PBC． (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC⊥平面PAB，又AD∥BC， 得AD⊥平面 PAB，故AD⊥AE， 在Rt△PAB中， 1， 从而在Rt△DAE中， ， 在Rt△CBE中， ， 又 ， 所以△CED为等边三角形， 取CE的中点F，连接DF，则DF⊥CE， 因BE=BC=1，且BC⊥BE，则△EBC为等腰直角三角形， 连结BF，则BF⊥CE， 所以∠BFD为所求的二面角的平面角， 连接BD， 在△BFD中， ， 所以， ， 故二面角B-EC-D的平面角的余弦值为 。