Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点.（Ⅰ） 求证：平面BCE

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点.（Ⅰ） 求证：平面BCE⊥平面CDE；（Ⅱ） 求二面角B-EF-D的余弦值.

Answer 1

解法一：（1）设CE中点为M，连BM，MF 则BM⊥CE,   由 可知 ∵DE⊥平面ACD∴DE⊥AF 即DE⊥BM∴BM⊥平面CDE, 又∵BM 平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE （2）过M作MD⊥EF于P， ∵BM⊥平面CDE ∴BD⊥EF ∠BPM即是二面角B-EF-D的平面角的补角 ∵ ,   ∴ . 即二面角B-EF-D的余弦值为 解法二：设AD=DE=2AB=2a.，建立如图所示的坐标系A-xyz， 则 . ∵F为CD的中点，∴ .        (1) 证明: ∵ ，   ∴ ，∴ .           ∴ 平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE.                                 (2) 解: 设平面 的法向量 ， 由 ，可得：   同理可求得平面 的法向量    , 二面角B-EF-D的余弦值为

Answer 2

解:(1)取CE中点P,连结FP、BP
DE⊥平面ACD,AB⊥平面ACD => AB//DE
根据三角形中位线定理,FP//=1/2DE,AB//=1/2DE => AB//=FP => AF//BP
因此AF//平面BCE.
(2)AB⊥平面ACD,DE//AB => DE⊥平面ACD => DE⊥AF
而AF⊥CD,于是AF⊥平面CDE.
于是由BP//AF,有BP⊥平面CDE,
因此,平面BCE⊥平面CDE.

Answer 3

无图无真相