Question

当n>m>=4时，求证：（mn^n)^m>(nm^m)^n

这个是高中的题，是出现在最后一题中的。

Answer 1

这个题目老师前2天刚讲过
便宜你了
我直接奉上标准解答！

解析：
(1)
f'=a+lnx+1
a+2=3
a=1

(2)f(x)=x(1nx+1)
构造一个函数g(x)=f(x)/(x-1)(x>1)
则g'(x)=(x-1nx-2)/(x-1)²
令h(x)=x-1nx-2(x>1),则h'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴h(x)在（1，+∞）上单调递增
又h(3)=1-1n3<0,h(4)=2-1n4=2(1-ln2)>0
∴h(x)在区间（3,4）上有一个零点，记为x₀,则x₀=1nx₀+2
当1<x<x₀时，g'(x)<0；当x>x₀时，g'(x)>0
∴g(x)在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞)上单调递增
∴g(x)有最小值g(x₀)=f(x₀)/(x₀-1)=x₀(1nx₀+1)/(x₀-1)=x₀
∴k<x₀时，k<f(x)/(x-1)对任意x>1恒成立
又k∈Z,∴k的最大值为3

（3）即要证明：当n>m>1时，n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)成立
构造一个函数f(x)=x1nx/(x-1)(x>1)
则f'(x)=(x-1nx-1)/(x-1)²
令g(x)=x-1nx-1(x>1),则g'(x)=1-(1/x)=(x-1)/x>0
∴g(x)在(1,+∞)上单调递增
又g(1)=0,∴g(x)>0 ∴f'(x)>0
∴f(x)在(1,+∞)上单调递增
∴当n>m>1时，n·ln(n)/(n-1)>m·1n(m)/(m-1)

Answer 2

n>m>=4
所以n^m>m^n
m^m*n^(m*n)>n^n*m^(m*n)
mn^n)^m>(nm^m)^n

Answer 3

请教楼上，为什么 n>m>=4时， n^m>m^n
若 n=10,m=4, 则 10^4=10000< 1000*1000<1024*1024=2^10*2^10= 4^10

Answer 4

n^m>m^n
m^m*n^(m*n)>n^n*m^(m*n)
mn^n)^m>(nm^m)^n

Answer 5

用分析法证明；或导数
既然是最后一题，那只有这些条件么 还有其他的没