已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数,F(x)=f(x)f′(x)+f 2 (x)(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及单
已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数,F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及单调区间;(Ⅱ)求函数F(x)在...
已知函数f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的导函数,F(x)=f(x)f′(x)+f 2 (x)(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及单调区间;(Ⅱ)求函数F(x)在 上的值域;(Ⅲ)若f(x)=2f′(x),求 的值.
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寄灭
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(Ⅰ)T=π.单调递增区间:  单调递减区间: (Ⅱ)[1,1+  ];(Ⅲ)  . |
试题分析:(I)将函数F(x)=f(x)f′(x)+f 2 (x)化一可得:F(x)=1+  sin(2x+  ),由此可得F(x)的最小正周期及单调区间.(Ⅱ) 由  得  这样可得sin(2x+  )的范围,从而得函数F(x)的值域. (Ⅲ)由f(x)=2f′(x),得:sinx+cosx=2cosx-2sinx,由此可得tanx的值. 将  化为只含tanx式子,将tanx.的值代入即可. 试题解析:(I)∵f′(x)=cosx-sinx, ∴F(x)=f(x)f′(x)+f 2 (x)=cos 2 x-sin 2 x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+  sin(2x+  ), 最小正周期为T=  =π. 单调递增区间:  单调递减区间:  . 4分 (Ⅱ)由  得 所以  ,所以函数F(x)的值域为[1,1+  ]. 8分 (Ⅲ)∵f(x)=2f′(x), ∴sinx+cosx=2cosx-2sinx, ∴cosx=3sinx, ∴tanx=  , ∴  =  =  =  =  . 13分 考点:1、三角变换;2、三角函数的单调性和范围;3、三角函数同角关系式. |
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