Question

已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数,F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2 (x)(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及单

已知函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导函数,F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2 (x)(Ⅰ)求F(x)的最小正周期及单调区间；(Ⅱ)求函数F(x)在 上的值域；(Ⅲ)若f(x)＝2f′(x)，求 的值．

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Answer 1

（Ⅰ)T＝π.单调递增区间: 单调递减区间: （Ⅱ）[1，1＋ ]；（Ⅲ） .

试题分析：(I)将函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2 (x)化一可得：F(x)＝1＋ sin(2x＋ )，由此可得F(x)的最小正周期及单调区间.(Ⅱ) 由 得 这样可得sin(2x＋ )的范围，从而得函数F(x)的值域. (Ⅲ)由f(x)＝2f′(x),得：sinx＋cosx＝2cosx－2sinx，由此可得tanx的值. 将 化为只含tanx式子，将tanx.的值代入即可. 试题解析：(I)∵f′(x)＝cosx－sinx， ∴F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2 (x)＝cos 2 x－sin 2 x＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x＋cos2x＝1＋ sin(2x＋ )， 最小正周期为T＝ ＝π. 单调递增区间: 单调递减区间: .      4分 (Ⅱ)由 得 所以 ，所以函数F(x)的值域为[1，1＋ ].             8分 (Ⅲ)∵f(x)＝2f′(x), ∴sinx＋cosx＝2cosx－2sinx， ∴cosx＝3sinx, ∴tanx＝ ， ∴ ＝ ＝ ＝ ＝ .                13分 考点:1、三角变换；2、三角函数的单调性和范围；3、三角函数同角关系式.