Question

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q

如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A开始沿边AC向点C以1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD∥BC，交AB于点D，连接PQ分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB=______，PD=______．（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．并探究如何改变Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ中点M所经过的路径长．

Answer 1

（1）根据题意得：CQ=2t，PA=t，
∴QB=8-2t，
∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，PD∥BC，
∴∠APD=90°，
∴tanA=

PD

PA

＝

BC

AC

=

4

3

，
∴PD=

4

3

t．
故答案为：（1）8-2t，

4

3

t．

（2）不存在
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，
∴AB=10
∵PD∥BC，
∴△APD∽△ACB，
∴

AD

AB

＝

AP

AC

，即

AD

10

＝

t

6

，
∴AD=

5

3

t，
∴BD=AB-AD=10-

5

3

t，
∵BQ∥DP，
∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，
即8-2t=

4t

3

，解得：t=

12

5

．
当t=

12

5

时，PD=

4

3

×

12

5

=

16

5

，BD=10-

5

3

×

12

5

=6，
∴DP≠BD，
∴?PDBQ不能为菱形．
设点Q的速度为每秒v个单位长度，
则BQ=8-vt，PD=

4

3

t，BD=10-

5

3

t，
要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，
当PD=BD时，即

4

3

t=10-

5

3

t，解得：t=

10

3

当PD=BQ，t=

10

3

时，即

4

3

×

10

3

=8-

10

3

v，解得：v=

16

15

当点Q的速度为每秒

16

15

个单位