Question

如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E，则下列四个结论：①

如图，AB是半圆O的直径，以OA为直径的半圆O′与弦AC交于点D，O′E∥AC，并交OC于点E，则下列四个结论：①点D为AC的中点；②S△O′OE=S△AOC；③2AD＝AC；④四边形O′DEO是菱形，其中正确的结论有（　　）个．A．1个B．2个C．3个D．4个

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Answer 1

解：①连接DO，
∵AO是半圆直径，
∴∠ADO=90°，
∵OD⊥AC，
∴AD=DC，即点D为AC的中点．
故①正确；
②∵O′E∥AC，
∴△EO′O∽△AOC，
∴

OO′

AO

=

1

2

，
∴S_△O′OE=

1

4

S_△AOC，
故②错误；
③∵OD⊥AC，AD=DC，
∴∠AOD=∠DOC，
∴∠AO′D=∠AOC，AO=2AO′，
∴2

AD

＝

AC

；
故③正确；
④④∵D为AC中点，O′为AO中点，
∴DO′是△AOC中位线，
∴DO′∥CO，
∵O′E∥AC，
∴O′为AO中点，
∵D为AC中点，
∴DE∥AO，
∴四边形DO′OE是平行四边形，
∵DO′=O′O，
∴四边形O′DEO是菱形．
∴④正确．
综上所述，只有①③④正确．
故选C．