已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．（1）若a＞0，讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，求f（x）的最小值
已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．（1）若a＞0，讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，求f（x）的最小值；（3）证ln2222+ln3232+…+lnn...
已知函数f（x）=|x-a|-lnx（a＞0）．（1）若a＞0，讨论f（x）的单调区间；（2）若a=1，求f（x）的最小值；（3）证ln2222+ln3232+…+lnn2n2+ln(n+1)2(n+1)2＜n-（12-1n+2）（n∈N*，且n≥2）．
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若a≥1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=
≥0，∴f（x）在区间[a，+∞）上单调递增；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；
若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=
，x＞1，f′（x）＞0，a＜x＜1，f′（x）＜0
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，（a，1）上单调递减；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
＜0，所以f（x）在（0，a）上单调递减；
而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，（0，1）上单调递减
综上，当a≥1时，f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；当0＜a＜1时，f（x）的递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；…（6分）
（2）a=1时，f（x）=|x-1|-lnx （x＞0）
当0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1-
＜0，所以f（x）在（0，1]上单调递减；
当x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=
＞0，所以f（x）在（1，+∞）上单调递增，
∴x=1时，f（x）的最小值为f（1）=0…（9分）
（3）由（2）可知，当a=1，x＞1时，有f（x）＞f（1）=0，
＜1?
，
∴
+
+…+
+
＜n?(
+
+…+
+
)，
n≥2时，
＞
=
-
…（12分）
∴?(
+
+…+
| x?1 |
| x |
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
| 1 |
| x |
若0＜a＜1，当x≥a时，f（x）=x-a-lna，f′（x）=
| x?1 |
| x |
∴f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，（a，1）上单调递减；
当0＜x＜a时，f（x）=a-x-lnx，f′（x）=-1-
| 1 |
| x |
而f（x）在x=a处连续，则f（x）在（1，+∞）上单调递增，（0，1）上单调递减
综上，当a≥1时，f（x）的递增区间是（a，+∞），递减区间是（0，a）；当0＜a＜1时，f（x）的递增区间是（1，+∞），递减区间是（0，1）；…（6分）
（2）a=1时，f（x）=|x-1|-lnx （x＞0）
当0＜x≤1，f（x）=1-（x+lnx），f′（x）=-1-
| 1 |
| x |
当x＞1，f（x）=x-（1+lnx），f′（x）=
| x?1 |
| x |
∴x=1时，f（x）的最小值为f（1）=0…（9分）
（3）由（2）可知，当a=1，x＞1时，有f（x）＞f（1）=0，
| lnx |
| x |
| 1 |
| x |
∴
| ln22 |
| 22 |
| ln32 |
| 32 |
| lnn2 |
| n2 |
| ln(n+1)2 |
| (n+1)2 |
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| (n+1)2 |
n≥2时，
| 1 |
| n2 |
| 1 |
| n(n+1) |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
∴?(
| 1 |
| 22 |
| 1 |
| 32 |
