Question

在△ABC中，∠A=40°（1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P=______，∠A与∠P之间的

在△ABC中，∠A=40°（1）如图1，若两内角∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P，则∠P=______，∠A与∠P之间的数量关系是∠P=90°+12∠A∠P=90°+12∠A．为什么有这样的关系？请证明它；（2）如图2，若内角∠ABC、外角∠ACE的角平分线交于点P，则∠P=______，∠A与∠P之间的数量关系是∠P=12∠A∠P=12∠A；（3）如图3，若两外角∠EBC、∠FCB的角平分线交于点P，则∠P=______，∠A与∠P之间的数量关系是∠P=90°-12∠A∠P=90°-12∠A．

Answer 1

（1）∠ABC+∠C=180°-∠A=180°-40°=140°
∴

1

2

（∠ABC+∠C）=

1

2

×140°=70°，
∴∠P=180°-

1

2

（∠ABC+∠C）=110°．
∠A与∠P之间的数量关系是∠P=90°+

1

2

∠A；

（2）∵

1

2

∠ACE=

1

2

∠ABC+∠P，
∴

1

2

（∠A+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
∴

1

2

（40°+∠ABC）=

1

2

∠ABC+∠P，
∴∠P=20°．
∠A与∠P之间的数量关系是∠P=

1

2

∠A；

（3）∵∠EBC=∠A+∠ACB，∠BCF=∠A+∠ABC，
∴∠EBC+∠BCF=∠A+∠ACB+∠ABC+∠A=180°+∠A，
∴∠PBC+∠PCB=90°+

1

2

∠A．
又∵∠PBC+∠PCB+∠P=180°，
∴90°+

1

2

∠A+∠P=180°，即∠P=90°-

1

2

∠A．