Question

(a+b-c)^3+(a+c-b)^3+(b+c-a)^3-3(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)=？

a+b+c=p ab+ac+bc=q 求解答，尽量详细

Answer 1

首先，请问楼主是否知道下面的公式：
A^3+B^3+C^3-3ABC=（A+B+C）（A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA）
A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA=1/2【（A-B）^2+（B-C）^2+（C-A）^2】

回到此题，令a+b-c=A，b+c-a=B，c+a-b=C
由公式，知原式=A^3+B^3+C^3-3ABC
=（A+B+C）（A^2+B^2+C^2-AB-BC-CA）
=1/2（A+B+C）【（A-B）^2+（B-C）^2+（C-A）^2】

∵A+B+C=（a+b-c）+（b+c-a）+（c+a-b）=a+b+c
A-B=2a-2c，B-C=2b-2a，C-A=2c-2a
∴（A-B）^2+（B-C）^2+（C-A）^2
=（4c^2-8ca+4a^2）+（4a^2-8ab+4b^2）+（4b^2-8bc+4c^2）=8（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca）
∴原式=1/2（A+B+C）【（A-B）^2+（B-C）^2+（C-A）^2】
=4（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca）

又∵p^2=(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
∴a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=p^2-3q
∴原式=4（a+b+c）（a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca）
=4p（p^2-3q）=4p^3-12pq

望采纳！

Answer 2