高一数学 立体几何
如图,一截面竖直将底面半径为r的圆柱分成两个柱体,已知切口宽(图中AB)为根号2r，求分割后小柱体和大柱体的体积之比...
如图,一截面竖直将底面半径为r的圆柱分成两个柱体,已知切口宽(图中AB)为根号2r，求分割后小柱体和大柱体的体积之比
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设圆心为O，连接OA,OB则有OA=OB=r
则有AB^2=OA^2+OB^2=2r^2
所以三角形AOB为直角三角形
∠AOB=90度
所以V小柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h
V大柱体=（3πr^2/4+r^2/2)*h
V小柱体： V大柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h：（3πr^2/4+r^2/2)*h
=（πr^2/4-r^2/2）：（3πr^2/4+r^2/2)
=（π/4-1/2）：（3π/4+1/2)
=（π-2）/（3π+2）
则有AB^2=OA^2+OB^2=2r^2
所以三角形AOB为直角三角形
∠AOB=90度
所以V小柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h
V大柱体=（3πr^2/4+r^2/2)*h
V小柱体： V大柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h：（3πr^2/4+r^2/2)*h
=（πr^2/4-r^2/2）：（3πr^2/4+r^2/2)
=（π/4-1/2）：（3π/4+1/2)
=（π-2）/（3π+2）
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体积比即面积比，所以AB以左的面积为扇形减去三角形=四分之一倍的π*R^2-二分之一倍的R^2,右边=π*R^2-左边，二者相比即可
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设圆心为O，连接OA,OB则有OA=OB=r
则有AB^2=OA^2+OB^2=2r^2
所以三角形AOB为直角三角形
∠AOB=90度
所以V小柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h
V大柱体=（3πr^2/4+r^2/2)*h
V小柱体： V大柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h：（3πr^2/4+r^2/2)*h
=（πr^2/4-r^2/2）：（3πr^2/4+r^2/2)
=（π/4-1/2）：（3π/4+1/2)
=（π-2）/（3π+2）
则有AB^2=OA^2+OB^2=2r^2
所以三角形AOB为直角三角形
∠AOB=90度
所以V小柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h
V大柱体=（3πr^2/4+r^2/2)*h
V小柱体： V大柱体=（πr^2/4-r^2/2)*h：（3πr^2/4+r^2/2)*h
=（πr^2/4-r^2/2）：（3πr^2/4+r^2/2)
=（π/4-1/2）：（3π/4+1/2)
=（π-2）/（3π+2）
参考资料： 高一数学（人教） 必修2 教学与测试 第49面 第7题
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