Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点. 若AB=2，PA=2

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，BD交AC于点E，F是PC中点，G为AC上一点. 若AB=2，PA=2√2,求二面角B-PC-A的正切值

Answer 1

∵PA⊥面ABCD，AB、AC属于面ABCD

∴PA⊥AB，PA⊥AC

∵AB=2，PA=2√2，四边形ABCD是正方形

∴PB=2√3，AC=2√2

∴PC=4，三角形PAC为等腰直角三角形

又∵BC=2

∴在三角形PBC中，∠PBC=90°，∠BPC=30°

过B作BH⊥PC于H，过H作HK⊥PC交AC与K

则HC=1，HK=1

∴KC=√2

∴K为AC中点

∴BK=√2

易证得BK⊥面PAC

∵HK属于面PAC

∴BK⊥HK

∴tan∠BHK=√2即为所求