Question

在△ABC中，AB=AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长

在△ABC中，AB=AC，周长为20cm，D是AC上一点，△ABD与△BCD面积相等且周长差为3cm，求△ABC各边的长．

Answer 1

本题分两种情况： （1）当△ABC为锐角三角形时， 过P点作BE⊥AC， ∵S △ABD =S △ABD = 1 2 AD?BE= 1 2 CD?BE， ∴CD=AD， 又∵△ABD与△BCD周长差为3cm， ∴（AB+BD+AD）-（BD+BC+CD）=3cm， ∴AB-BC=3cm…①， 又△ABC的周长为20cm，且AB=AC， ∴2AB+BC=20cm…②， 由①②可得： AB=AC= 23 3 cm，BC= 14 3 cm； （2）当△ABC为钝角三角形时， 同上可知BC-AB=3cm…③， 2AB+BC=20cm…④， 由③④可得：BC= 26 3 cm，AB=AC= 17 3 cm． 由（1）（2）可知： △ABC三边长分别为 23 3 cm， 23 3 cm， 14 3 cm或 17 3 cm， 17 3 cm， 26 3 cm．

Answer 2

本题分两种情况：
（1）当△ABC为锐角三角形时，
过P点作BE⊥AC，
∵S △ABD =S △ABD = 

1    

2    

 AD?BE= 

1    

2    

 CD?BE，
∴CD=AD，
又∵△ABD与△BCD周长差为3cm，
∴（AB+BD+AD）-（BD+BC+CD）=3cm，
∴AB-BC=3cm…①，
又△ABC的周长为20cm，且AB=AC，
∴2AB+BC=20cm…②，
由①②可得：
AB=AC= 

23    

3    

 cm，BC= 

14    

3    

 cm；

（2）当△ABC为钝角三角形时，
同上可知BC-AB=3cm…③，
2AB+BC=20cm…④，
由③④可得：BC= 

26    

3    

 cm，AB=AC= 

17    

3    

 cm．
由（1）（2）可知：
△ABC三边长分别为 

23    

3    

 cm， 

23    

3    

 cm， 

14    

3    

 cm或 

17    

3    

 cm， 

17    

3    

 cm， 

26    

3    

 cm．