Question

已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°。点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°。点E为BD延长线上

已知：如下图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°。点D为△ABC内一点，且DB=DC，∠DCB=30°。点E为BD延长线上一点，且AE=AB。（1）求∠ADE的度数；（2）若点M在DE上，且DM=DA，求证：ME=DC。

Answer 1

解：（1）如下图： ∵△ABC中，AB=AC，∠BAC=30°， ∴∠ABC=∠ACB= =75° ∵DB=DC，∠DCB=30°， ∴∠DBC=∠DCB=30° ∴∠1=∠ABC－∠DBC=75°－30°=45° ∵AB=AC，DB=DC， ∴AD所在直线垂直平分BC， ∴AD平分∠BAC， ∴∠2= ∠BAC= =15° ∴∠ADE=∠1＋∠2 =45°＋15°=60°； （2）连接AM，取BE的中点N，连接AN。如下图： ∵△ADM中，DM=DA，∠ADE=60°， ∴△ADM为等边三角形， ∵△ABE中，AB=AE，N为BE的中点， ∴BN=NE，且AN⊥BE， ∴DN=NM， ∴BN－DN =NE－NM， 即 BD=ME， ∵DB=DC， ∴ME = DC。