Question

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使 ∠OPA= π 2 ，则椭圆离心率的

A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使 ∠OPA= π 2 ，则椭圆离心率的范围是______．

Answer 1

设椭圆的方程为 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1 ，设 A （a，0），点P（acost，bsint）．  由题意得， PO  ? PA =0，∴（-acost，-bsint）?（a-acost，-bsint）=0， ∴（-acost ）?（a-acost ）+b 2 sin 2 t=0，化简可得 c 2 cos 2 t-a 2 cost+a 2 -c 2 =0， ∴e 2 cos 2 t-cost+1-e 2 =0，∴e 2 = 1 1+cost ． 又∵0＜e＜1，0＜1+cost＜2，∴ 1 2 ＜e 2 ＜1，∴ 2 2 ＜e＜1， 故答案为 2 2 ＜ c a ＜1．