Question

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。（1）求证：AE是⊙O的切线；（2

如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD是⊙O的直径，AE⊥CD于点E，DA平分∠BDE。（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若∠DBC=30°，DE="1" cm，求BD的长。

Answer 1

解：（1）(6分)证明：连接AO． ∵AO=DO， ∴∠OAD=∠ODA． ∵DA平分∠BDE，∴∠ADE=∠ODA．∴∠ADE=∠OAD． ∵AE⊥CD，∴∠ADE+∠DAE=90°． ∴∠OAD+∠DAE=90°．即OA⊥AE．（由AO∥ED 证得OA⊥AE也可．） ∴AE是⊙O的切线． （2）(8分)∵BD是⊙O的直径，∴∠C=90° ∵∠DBC=30°∴∠BDC=60°∴∠ADE=∠ODA=60° ∴在Rt△AED中，∠EAD=30  ∵ED=1   ∴AD=2ED=2  ∵在Rt△ABD中, ∠ABD=30,   AD=2 ∴BD=2AD=4（cm）  ∴BD的长为4cm。

（1）连接OA，推出∠OAD=∠ODA=∠EDA，推出OA∥CD，推出OA⊥AE，即可得出答案； （2）求出∠BDC=∠EDA=∠ADB=60°，求出∠EAD=∠ABD=30°，求出AD，即可求出BD。