Question

△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且 cosB cosC =- b 2a+c

△ABC中，a、b、c是A，B，C所对的边，S是该三角形的面积，且 cosB cosC =- b 2a+c （1）求∠B的大小；（2）若a=4， S=5 3 ，求b的值．

Answer 1

（1）由正弦定理得： a sinA = b sinB = c sinC =2R， ∴a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC， 代入已知的等式得： cosB cosC =- sinB 2sinA+sinC ， 化简得：2sinAcosB+sinCcosB+cosCsinB =2sinAcosB+sin（C+B）=2sinAcosB+sinA=sinA（2cosB+1）=0， 又A为三角形的内角，得出sinA≠0， ∴2cosB+1=0，即cosB=- 1 2 ， ∵B为三角形的内角，∴ ∠B= 2π 3 ； （2）∵a=4，sinB= 3 2 ，S=5 3 ， ∴S= 1 2 acsinB= 1 2 ×4c× 3 2 =5 3 ， 解得c=5，又cosB=- 1 2 ，a=4， 根据余弦定理得： b 2 =a 2 +c 2 -2ac?cosB=16+25+20=61， 解得b= 61 ．