在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，...
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=12．点D在边AC上（不与A，C重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1． 设CF=kEF，则k=______；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．
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（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，
∴CF=
BD，EF=
BD，
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．
（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan∠BAC=
，
∴
=
=
．
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
=
=
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，CF=
EG，
∴BE-DE=EG=2CF；
（3）情况1：如图，当AD=
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=
，且BC=6，
∴AC=12，AB=6
．
∵M为AB中点，
∴CM=3
，
∵AD=
AC，
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM=
AD=2．
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=2+3
．
情况2：如图，当AD=
AC时，取AB的中点M，连接MF和CM，
类似于情况1，可知CF的最大值为4+3
．
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+3
∴CF=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴CF=EF，
∴k=1；
故答案为1．
（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．
由题意，tan∠BAC=
| 1 |
| 2 |
∴
| BC |
| AC |
| DE |
| AE |
| 1 |
| 2 |
∵D、E、B三点共线，
∴AE⊥DB．
∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，
∴∠QBC=∠EAQ．
∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，
∴∠ECA=∠BCG．
∴△BCG∽△ACE．
∴
| BC |
| AC |
| GB |
| AE |
| 1 |
| 2 |
∴GB=DE．
∵F是BD中点，
∴F是EG中点．
在Rt△ECG中，CF=
| 1 |
| 2 |
∴BE-DE=EG=2CF；
（3）情况1：如图，当AD=
| 1 |
| 3 |
∵∠ACB=90°，tan∠BAC=
| 1 |
| 2 |
∴AC=12，AB=6
| 5 |
∵M为AB中点，
∴CM=3
| 5 |
∵AD=
| 1 |
| 3 |
∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，
∴FM=
| 1 |
| 2 |
如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，
此时CF=CM+FM=2+3
| 5 |
情况2：如图，当AD=
| 2 |
| 3 |
类似于情况1，可知CF的最大值为4+3
| 5 |
综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的
三等分点时，线段CF的长度取得最大值为4+3
