Question

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围。

设函数f(x)=(x+1)ln(x+1)，若对所有的x≥0，都有f(x)≥ax成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：令 ， 对函数g(x)求导数： ， 令g′(x)=0解得 ， （i）当 时，对所有x＞0，g′(x)＞0，所以g(x)在[0，+∞)上是增函数， 又g（0）=0， 所以对x≥0，有 ， 即当 时，对于所有x≥0，都有 ； （ii）当a＞1时，对于 ，所以g(x)在 是减函数， 又g（0）=0，所以对 有 ，即 ， 所以，当a＞1时，不是对所有的x≥0都有 成立； 综上，a的取值范围是 。