Question

定义向量 =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为 =（

定义向量 =（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为 =（a，b）（其中O为坐标原点），记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S。（1）设g（x）=3sin（x+ ）+4sinx，求证：g（x）∈S；（2）已知h（x）=cos（x+α）+2cosx，且h（x）∈S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b≠0）为圆C：（x-2） 2 +y 2 =1上一点，向量 的“相伴函数”f（x）在x=x 0 处取得最大值，当点M在圆C上运动时，求tan2x 0 的取值范围。





Answer 1

解：（1）g（x）=3sin（x+  ）+4sinx=4sinx+3cosx， 其‘相伴向量’  =（4，3），g（x）∈S。 （2）h（x）=cos（x+α）+2cosx =（cosxcosα-sinxsinα）+2cosx =-sinαsinx+（cosα+2）cosx ∴函数h（x）的‘相伴向量’  =（-sinα，cosα+2） 则|  |=  =  。 （3） 的‘相伴函数’f（x）=asinx+bcosx= sin（x+φ）， 其中cosφ= ，sinφ= ． 当x+φ=2kπ+ ，k∈Z时，f（x）取到最大值，故x 0 =2kπ+ -φ，k∈Z ∴tanx 0 =tan（2kπ+ -φ）=cotφ= ，tan2x 0 = = = 为直线OM的斜率，由几何意义知： ∈[- ，0）∪（0， ] 令m= ，则tan2x 0 = ，m∈[- ，0）∪（0， } 当- ≤m＜0时，函数tan2x 0 = 单调递减， ∴0＜tan2x 0 ≤ ； 当0＜m≤ 时，函数tan2x 0 = 单调递减， ∴- ≤tan2x 0 ＜0 综上所述，tan2x 0 ∈[- ，0）∪（0， ]。