Question

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，若抛物线的

已知：在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左侧，若抛物线的对称轴为x=1，点A的坐标为（-1，0）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）设抛物线的顶点为C，抛物线上一点D的坐标为（-3，12），过点B、D的直线与抛物线的对称轴交于点E．问：是否存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若在BD上存在一点P，使得直线AP将四边形ACBD分成了面积相等的两部分，请你求出此时点P的坐标．

Answer 1

解：（1）如图，∵抛物线的对称轴为x=1，点A的坐标为（-1，0），
∴B（3，0），
∴

0=1-b+c 0=9+3b+c

，
解得：

b=-2 c=-3

，
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3，
答：这个二次函数的解析式是y=x²-2x-3．

（2）顶点C的坐标为（1，-4），
∵D的坐标为（-3，12），
设直线BD的解析式为y=kx+b₁，
∴

12=-3k+b1 0=3k+b1

，
解得：

k=-2 b1=6

，
∴直线BD的解析式为y=-2k+6，
∴点E的坐标为（1，4），
由题意，点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，
∴点F的坐标为（3，8）、（3，-8）或（-1，0），
答：存在这样的点F，使得以点B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形，点F的坐标是（3，8），（3，-8），（-1，0）．

（3）四边形ACBD的面积=S_△ABC+S_△ABD=

1

2

×4×12+

1

2

×4×4=32，
∴

1

2

S_{四边形ACBD}=16，
∵S_△ABC=8，
∴S_△ABP=8，
∴点P的纵坐标为4．
∵直线BD的解析式为y=-2x+6，
∴点P的坐标为（1，4），
答：点P的坐标是（1，4）．