Question

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）求证：CE=CF

如图1，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）求证：CE=CF；（2）将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2，求证：A′E′是∠CE′D′的角平分线；（3）试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

Answer 1

解答：证明：（1）∵AF平分∠CAB，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠1+∠CFE=90°，∠2+∠AED=90°，
∴∠CFE=∠AED，
∵∠CEF=∠AED（对顶角相等），
∴∠CEF=∠CFE，
∴CE=CF；

（2）∵△ADE沿AB向右平移得到△A′D′E′，
∴∠A′E′D′=∠AED，A′E′∥AE，
∴∠CFE=∠A′E′F，
∵∠CFE=∠AED，
∴∠A′E′D′=∠A′E′F，
∴A′E′是∠CE′D′的角平分线；

（3）由平移的性质得，∠2=∠3，AE=A′E′，
∴∠1=∠3，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠4+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°，
∴∠B=∠4，
在△ACE和△A′BE′中，

∠1＝∠3 ∠B＝∠4 AE＝A′E′

，
∴△ACE≌△A′BE′（AAS），
∴BE′=CE，
∵CE=CF，
∴BE′=CF．