Question

已知直线l：y=kx+1与圆C：x2+y2-4x-6y+12=0相交于M，N两点，（1）求k的取值范围；（2）若O为坐标原点，且

已知直线l：y=kx+1与圆C：x2+y2-4x-6y+12=0相交于M，N两点，（1）求k的取值范围；（2）若O为坐标原点，且OM?ON=12，求k的值．

Answer 1

（1）当直线l与圆相切时，圆心（2，3）到直线l的距离d=

|2k?2|

1+k2

=r=1，
化简得3k²-8k+3=0，解得：k=

4± 7

3

，
因为直线l与圆相交于M，N两点，所以实数k的取值范围为：

4? 7

3

＜k＜

4+ 7

3

；
（2）把直线方程与圆方程联立得

y＝kx+1 (x?2)2+(y?3)2＝1

，消去y得到（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁和x₂为（1+k²）x²-4（1+k）x+7=0的两个根，
则MN中点横坐标x₁+x₂=

4(1+k)

1+k2

，x₁x₂=

7

1+k2

OM

?

ON

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=

7

1+k2

+

12k2+4k+1

1+k2

=12，
即12k²+4k+8=12（1+k²），解得k=1．