Question

一个质量m=0.1kg的正方形金属框总电阻R=0.5Ω，金属框放在表面绝缘且光滑的斜面顶端（金属框上边与AA′重

一个质量m=0.1kg的正方形金属框总电阻R=0.5Ω，金属框放在表面绝缘且光滑的斜面顶端（金属框上边与AA′重合），自静止开始沿斜面下滑，下滑过程中穿过一段边界与斜面底边BB′平行、宽度为d的匀强磁场后滑至斜面底端（金属框下边与BB′重合），设金属框在下滑过程中的速度为v，与此对应的位移为s，那么v2-s图象如图所示，已知匀强磁场方向垂直斜面向上．试问：（1）根据v2-s图象所提供的信息，计算出斜面倾角θ和匀强磁场宽度d．（2）匀强磁场的磁感强度多大？金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为多少？（3）现用平行斜面沿斜面向上的恒力F作用在金属框上，使金属框从斜面底端BB′（金属框下边与BB′重合）由静止开始沿斜面向上运动，匀速通过磁场区域后到达斜面顶端（金属框上边与AA′重合）．试计算恒力F做功的最小值．

Answer 1

（1）s=0到s=16 m由公式v²=2as，
该段图线斜率就是线框的加速度为：a=0.5m/s²
由牛顿第二定律得：mgsinθ=ma，sinθ＝

a

g

＝

0.5

10

＝

1

20

，
则：θ=arcsin0.05，
由图象可以看出，从线框下边进磁场到上边出磁场，线框均做匀速运动．
△s=2L=2d=26-16=10m，d=L=5m，
由速度位移公式得：v₁²=16，v₁=4m/s，
安培力：F_安=BIL=mgsinθ，则：mgsinθ=

B2L2v1

R

，
代入数据解得：B=0.016T；
（2）线框通过磁场时，由v²-s图可知，s₁=16 m，v₀=0，a₁=gsinθ，
匀加速运动s₂=10 m，v₁=4 m/s，匀速运动：s₃=8m，初速度为v₁=4m/s，加速度为a₃=gsinθ 匀加速运动
因此，金属框从斜面顶端滑至底端所用的时间为：t＝

2(s1+s3) gsinθ

+

s2

v1

＝(4

6

+2.5)s＝12.3s
（3）进入磁场前，由牛顿第二定律得：F-mgsinθ=ma₄，
在磁场中运动：F=mgsinθ+F_安，由上式得：F_安=ma₄
BL

BLv

R

=m

v2

2s3

，v=

2B2L2s3

mR

，
代入数据解得：v=2m/s，
所以有：a=0.25 m/s²，F_安=ma₄=0.1×0.25 N=0.025N，
最小功：W_F=F_安×2d+mg（s₁+s₂+s₃）sinθ=1.95J；
答：（1）斜面倾角θ为arcsin0.05，匀强磁场宽度d为5m．
（2）匀强磁场的磁感强度0.016T，金属框从斜面顶端滑至底端所需的时间为12.3s；
（3）恒力F做功的最小值为1.95J．