Question

求下列线性代数方程组的通解，并用对应导出组的基础解系表示。

我已算晕，求过程。
x1+3x2+5x3-4x4=1，

x1+3x2+2x3-2x4+x5=-1，
x1-2x2+x3-x4-x5=3，
x1-4x2+x3+x4-x5=3，
x1+2x2+x3-x4+x5=-1。

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Answer 1

(A, b) =
[1 3 5 -4 0 1]
[1 3 2 -2 1 -1]
[1 -2 1 -1 -1 3]
[1 -4 1 1 -1 3]
[1 2 1 -1 1 -1]
行初等变换为
[1 3 5 -4 0 1]
[0 0 -3 2 1 -2]
[0 -5 -4 3 -1 2]
[0 -7 -4 5 -1 2]
[0 -1 -4 3 1 -2]
行初等变换为
[1 0 -7 5 3 -5]
[0 1 4 -3 -1 2]
[0 0 -3 2 1 -2]
[0 0 16 -12 -6 12]
[0 0 24 -16 -8 16]
行初等变换为
[1 0 -7 5 3 -5]
[0 1 4 -3 -1 2]
[0 0 -3 2 1 -2]
[0 0 24 -18 -9 18]
[0 0 3 -2 -1 2]
行初等变换为
[1 0 -7 5 3 -5]
[0 1 4 -3 -1 2]
[0 0 3 -2 -1 2]
[0 0 0 -2 -1 2]
[0 0 0 0 0 0]
行初等变换为
[1 0 -7 5 3 -5]
[0 1 4 -3 -1 2]
[0 0 3 0 0 0]
[0 0 0 2 1 -2]
[0 0 0 0 0 0]
行初等变换为
[2 0 -14 10 6 -10]
[0 2 8 -6 -2 4]
[0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 2 1 -2]
[0 0 0 0 0 0]
行初等变换为
[2 0 -14 0 1 0]
[0 2 8 0 1 -2]
[0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 2 1 -2]
[0 0 0 0 0 0]
行初等变换为

[2 0 0 0 1 0]
[0 2 0 0 1 -2]
[0 0 1 0 0 0]
[0 0 0 2 1 -2]
[0 0 0 0 0 0]

r(A) = r(A<b)=4<5, 方程组有无穷多解。
方程组同解变形为
2x1=-x5
2x2=-2-x5
x3=0
2x4=-2-x5
令 x5=0 , 得特解 (0, -1, 0, -1, 0)^T,
导出组即对应的齐次方程是
2x1=-x5
2x2=-x5
x3=0
2x4=-x5
令 x5=-2 , 得基础解系 (1, 1, 0, 1, -2)^T,
方程组的通解是
x=(0, -1, 0, -1, 0)^T+k(1, 1, 0, 1, -2)^T,
其中 k 为任意常数。