Question

如图所示，以长为2的定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长

线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）如果AB=√5+1，求AM长；
如图所示，以定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上．
（1）求证：点M是AD的黄金分割点；（2）如果AB=√5+1，求AM长；（3）作PN⊥PD交BC于N连ND，△BPN与△PND是否相似。若相似，证明你的结论。

Answer 1

解：（1）在Rt△APD中，AP=1，AD=2，由勾股定理知PD= AD2+AP2= 4+1= 5，
∴AM=AF=PF-AP=PD-AP= 5-1，
DM=AD-AM=3- 5．
故AM的长为 5-1，DM的长为3- 5；
（2）点M是AD的黄金分割点．
由于 AMAD= 5-12， DMAM= 5-12，
∴点M是AD的黄金分割点．