Question

函数f(x)=(sinx+2)/(cosx+3)值域！

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Answer 1

解法一：设y=(sinx+2)/(cosx+3)
则y(cosx+3)=sinx+2
sinx-ycosx=3y-2
[√(1+y²)]sin(x-θ)=3y-2 (其中θ满足cosθ=1/√(1+y²)，sinθ=y/√(1+y²)，）
即sin(x-θ)=(3y-2)/ √(1+y²)，……①
欲使关于x的方程①有解需且必须|(3y-2)/ √(1+y²)|≤1
|3y-2|≤√(1+y²)
两边平方，得
8y²-12y+3≤0
解之得(3-√3)/4≤y≤(3+√3)/4
即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]
解法二：可以采用数形结合的方法
设u=sinx，v=cosx
则v²+u²=1……①
建立直角坐标系，横轴为v轴，纵轴为u轴
则方程①表示以原点O为圆心，半径为1的圆.
(sinx+2)/(cosx+3)表示点M（cosx，sinx）与点P（-3，-2）连线的斜率k,
k的范围就是所求值域。
则过点P圆的切线为u+2=k(v+3)即 kv-u+3k-2=0,……②
由于圆心到切线的距离等于半径
则1=|3k-2|/√(k²+1)
解之得(3-√3)/4≤k≤(3+√3)/4
即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]
解法三：可以采用数形结合的方法
设u=sinx，v=cosx
则v²+u²=1……①
建立直角坐标系，横轴为v轴，纵轴为u轴
则方程①表示以原点O为圆心，半径为1的圆.
(sinx+2)/(cosx+3)表示点M（cosx，sinx）与点P（-3，-2）连线的斜率k。
则过点P圆的切线为u+2=k(v+3)即 u=k(v+3)-2,……②
将②代入①，得v²+[k(v+3)-2]²=1
(k²+1)v²+2k(3k-2)v+(3k-2)p²-1=0
有△=0得k=3-√3)/4,或3+√3)/4
即f(x)值域为[(3-√3)/4,(3+√3)/4]

Answer 2

这道题目可以理解成点（-3，-2）到圆x^2+y^2=1的直线的斜率的范围
因为圆的参数方程可以表为x=cost y=sint,那么f(t)不正表示的是斜率吗？
这样的话，函数的值域就是点与圆的两条切线的斜率之间
设切线斜率为K 有k^2+1=(3k-2)^2,解出k来就可以了

Answer 3

[1/2,3/4]