Question

一道高一数学题（要详细过程）谢谢

过点P（4,1)作直线l分别交x轴的正半轴于点A，B，当三角形AOB（O为原点）的面积S最小时，求直线l的方程，并求出S的最小值

Answer 1

设l的方程为y=k(x-4)+1(k<0)
三角形AOB的面积为
x=0，y=1-4k
y=0，x=4-1/k
S=(1-4k)(4-1/k)/2=[8-(16k+1/k)]/2
16k=1/k时面积最小k=-1/4
S=8

Answer 2

设直线L的方程为x/a+y/b=1，
由直线L过点P(2,1)得2/a+1/b=1，
由均值不等式得
1=2/a+1/b≥2√(2/a)(1/b)=2√(2/ab)
所以2/ab≤1/4,ab≥8
所以S=0.5ab≥4,当2/a=1/b=1/2时取等号,
此时直线L的方程为x/4+y/2=1.